6 Energiebetrachtungen im elektrischen Stromkreis
6.2 Elektrische Leistung
Die Definition der elektrischen Leistung lässt sich schnell finden, wenn Sie zunächst Ihre persönliche Lernleistung während der Bearbeitung dieses Grundlagenmoduls betrachten.
Bearbeiten Sie an einem Tag fünf Abschnitte dieses Moduls, so haben Sie eine große Leistung erbracht. Benötigen Sie für die gleichen Abschnitte drei Tage, ist Ihre Leistung wesentlich geringer. Die Leistung ist somit das Verhältnis der verrichteten Arbeit zur dafür benötigten Zeit.
In der Elektrotechnik wird für die Leistung das Formelzeichen P (Power) verwendet.
Die Zeit t lässt sich aus der Gleichung herauskürzen.
Denken Sie daran, die Speicherkapazität Ihres Gehirns nur dann in Anspruch zu nehmen, wenn Sie dort noch ausreichende Reserven haben. Die beiden letzten Leistungsgleichungen sind das Ergebnis einer allgemeinen Vorgehensweise, die Sie auch in zwei Schritten manuell ausführen können.
1. Schritt: Berechnung der unbekannten Größe (U oder I) mit dem ohmschen Gesetz.
2. Schritt: Einsetzen des Ergebnisses in die Leistungsgleichung P = U · I.
Die Leistungsaufnahme eines elektrischen Gerätes ist meist in Form eines Aufklebers oder auf andere Weise auf dem Gerät angegeben. In Bild 4 sind die Gerätedaten des Bügeleisens und des Radios zu sehen, für die in 4.5 Elektrischer Widerstand die Betriebswiderstände berechnet wurden.
Bild 4: Gerätedaten eines Bügeleisens und eines RadiosDer Aufdruck des Bügeleisens zeigt, dass die Leistungsaufnahme in Abhängigkeit der Betriebsspannung zwischen 1200 W und 1450 W schwankt. Die Leistung nimmt allerdings nicht linear mit der Spannung zu, sondern steigt quadratisch, weil eine Erhöhung der Spannung bei konstantem Widerstand einen um den gleichen Faktor ansteigenden Strom bewirkt (Ohmsches Gesetz). Das ist auch an den Leistungsgleichungen {6.2.2} und {6.2.3} zu erkennen. Hier geht die Spannung bzw. der Strom quadratisch in die jeweilige Gleichung ein. Dieser Zusammenhang soll nachfolgend noch einmal verdeutlicht werden.
Die Spannung U an einem konstanten Widerstand wird verdoppelt und die neue Spannung ist Uneu.
Dementsprechend bewirkt eine Halbierung der Spannung eine Verringerung der Leistung auf ein Viertel des ursprünglichen Wertes. Ein Absenken der Spannung auf ein Drittel verursacht eine Reduzierung der Leistung auf ein Neuntel usw.
Bezogen auf das Bügeleisen ergibt sich beim angegebenen Spannungsbereich ein Spannungsverhältnis a von …
Die Spannung 240 V ist um den Faktor a = 1,091 größer als die Spannung 220 V. Somit steigt die Leistung im Quadrat dieses Faktors, das sind …
War das Bügeleisen zuvor nicht in Betrieb, ist die aufgenommene Leistung aufgrund des Kaltleiter-Verhaltens der Heizspirale ein wenig höher. Mit einem Energiemessgerät lässt sich sehr gut beobachten, wie nach dem Einschalten des kalten Bügeleisens die Stromaufnahme kontinuierlich sinkt. Der vom Hersteller angegebene maximale Leistungwert von 1450 W ist deshalb etwas größer als der berechnete Wert. Geringe Abweichungen können sich auch durch Fertigungstoleranzen ergeben.
Berechnung des Stromes anhand der Leistungsangabe auf einem Bügeleisen
Im Abschnitt 4.5 Elektrischer Widerstand wurde mit dem Energiemessgerät eine Spannung von 221 V und ein Stromwert von IBügeleisen = 5,43 A gemessen. Um ähnliche Voraussetzungen für einen Vergleich zu schaffen, wird zur direkten Berechnung des Stromes über die Leistungsgleichung die Spannung 220 V und die Leistung 1200 W (siehe Bild 4 oben) verwendet.
Der berechnete Wert weicht nur geringfügig vom gemessenen Stromwert (5,43 A) ab.
Berechnung der notwendigen Motor-Nennleistung für den Antrieb der Seilwinde
In 6.1 Elektrische Arbeit wurde der Strom berechnet, den ein als verlustfrei angenommener Seilwindenantrieb (Bild 2) mindestens aufnehmen muss, damit die gewünschte mechanische Arbeit von der Seilwinde erbracht werden kann. Dies sollte Ihnen verdeutlichen, dass die Höhe der verrichteten elektrischen Arbeit bei einer konstanter Spannung maßgeblich von der Größe des Stromes beeinflusst wird. Der berechnete Strom von 170,6 mA bestimmt die Motorleistung P, die ja das Produkt aus Spannung und Strom ist.
Bei der Wahl eines geeigneten Elektromotors für eine Antriebsaufgabe ist zunächst nicht von Bedeutung, welcher Strom der Motor aufnimmt oder welche elektrische Leistung ihm zugeführt wird, sondern, welche Leistung er an der Motorwelle abgeben kann. Diese Nennleistung wird auf dem Leistungsschild von Motoren angegeben. Bei leistungsstärkeren Motoren wird als Einheit für die Nennleistung das „kW“ (kilo Watt) verwendet. Bezogen auf unsere Seilwinde benötigen wir bei dem notwendigen Strom von 170 mA (unter Vernachlässigung der Reibungsverluste bei der Kraftübertragung zur Seilwinde) eine Mindest-Nennleistung von …
In Bild 5 ist das Leistungsschild eines 230 V Wechselstrommotors dargestellt. An seiner Motorwelle ist bei 230 V Betriebsspannung die Nennleistung 2 kW abgreifbar. Neben der Drehzahl des Motors von 2800 U/min ist auch der Leistungsfaktor cos φ angegeben. Mit ihm kann der Teil der zugeführten elektrischen Energie bestimmt werden, der zwischen dem Motor und der Spannungsquelle (Generator) hin- und herpendelt. Diese Teilleistung wird in den Kupferwicklungen des Motors gespeichert und kann als Antriebsenergie für die Motorwelle nicht genutzt werden.* Die zugeführte elektrische Leistung ist daher größer als die an der Motorwelle abgegebene Nennleistung.
Der angegebene Leistungsfaktor von cos φ = 0,87 besagt, dass nur 87 % der zugeführten elektrischen Leistung für eine Wandlung in mechanische Energie verwendet werden kann. Somit pendelt die Differenz (13 Prozent) zwischen den Motor und Generator als nicht verwertbare Leistung (Blindleistung) hin und her. Bei einem cos φ = 0,87 muss die zugeführte elektrische Leistung somit mindestens 13 % höher als die Nennleistung sein.
Der cos φ kann durch die Parallelschaltung eines Kondensators (siehe 7.1 Der Kondensator) zu den Anschlussklemmen des Motors auf einen Wert von nahezu 1,0 kompensiert werden, so dass dann keine Blindleistung mehr auftreten kann.
Bild 5: Leistungsschild eines 230 V Elektromotors*
6.2.1 Maximale Verlustleistung von Bauelementen
In der Elektrotechnik muss unbedingt darauf geachtet werden, dass Geräte nur mit der auf dem Leistungsschild angegebenen Spannung betrieben werden. Eine höhere Spannung verursacht bei einem konstanten Geräteinnenwiderstand einen um den gleichen Faktor ansteigenden Strom. Das Resultat ist eine quadratisch ansteigende Verlustleistung in den elektronischen Bauelementen oder Leitungswegen des Betriebsmittels. Dies führt auf Dauer oder sofort zu seiner Zerstörung. Eine sehr starke Überlastung ist zudem immer mit einer starken Wärme- und einer gesundheitsschädigenden Rauchentwicklung verbunden, die sich bis zu einem Geräte- oder Kabelbrand ausweiten kann. Wenn es dazu kommt, kann sehr schnell ein großflächiger Brand entstehen und somit Ihr Leben und das Leben anderer Individuen gefährden.
Wie sich eine stetig zunehmende Überlastung auf einen Kohleschichtwiderstand von 560 Ω auswirkt, sehen Sie im folgenden Video.
VIDEO (Nur in der Lizenzversion abrufbar!)
Aus den oben genannten Gründen darf ein z. B. für die USA ausgeliefertes Fernsehgerät (Netzspannung 120 V) nicht unmittelbar an das europäische 230 V-Stromnetz angeschlossen werden. Meist muss das Gerät zuvor mit einem Schiebeschalter auf die richtige Spannung eingestellt werden. Moderne elektronische Geräte, wie z. B. die Netzteile von Notebooks, sind hingegen schon für den weltweiten Einsatz konzipiert und ermöglichen den Betrieb über einen Spannungsbereich von z. B. 100 bis 240 V.
Jedes elektrotechnisches Bauelement ist für eine bestimmte maximale Verlustleistung ausgelegt, die auf Dauer nicht überschritten werden darf. Die vom Hersteller angegebene Nennbelastbarkeit gilt zudem nur bis zu einer bestimmten Umgebungstemperatur, meist 40 oder 55 °C (vgl. [1]). Wenn Sie also eine eigene Schaltung konzipieren, müssen Sie sich auch Gedanken darüber machen, welche Leistungen in den einzelnen Bauelementen umgesetzt werden und wie Sie jedes Bauteil vor einer Überlastung schützen. Dazu gibt es zwei Möglichlichkeiten. Entweder Sie wählen ein Bauelement mit entsprechender Verlustleistung (Zunahme der Baugröße) oder Sie führen die durch eine hohe Verlustleistung entstehende Wärme über einen Kühlkörper und einem evtl. notwendigen Lüfter an die Umgebung ab.
In Bild 6 sind die unterschiedlichen Baugrößen und -formen, sowie die damit verbundenen Verlustleistungen von Widerständen dargestellt. Deutlich ist beim 25 W Drahtwiderstand zu erkennen, dass die Anschlussdrähte einen größeren Querschnitt besitzen und dass der Widerstand zwecks Kühlung in einem stark wärmeleitenden Aluminiumgehäuse untergebracht ist. Die Bohrungen im Gehäuse erlauben zudem die Montage auf einem größeren Kühlkörper, um die Wärmeableitung zu verbessern.
Bild 6: Baugrößen und maximale Verlustleistungen von WiderständenDie maximale Verlustleistung eines Bauelementes lässt sich auch grafisch darstellen. Dazu sind zunächst einige Vorüberlegungen notwendig.
Die Verlustleistung Pmax ist eine konstante, von der Baugrößes des Bauelementes abhängige Größe. Das Produkt aus Spannung am Widerstand und des durch ihn hindurchfließenden Stromes ist somit immer gleich. Bei kleiner Spannung darf ein hoher Strom und bei großer Spannung nur ein kleiner Strom fließen.
Wir wollen nun die maximal erlaubten Stromwerte berechnen, die sich bei unterschiedlichen Spannungen ergeben. Dazu stellen wir die Leistungsgleichung nach dem Strom I um.
In der Gleichung stellt die konstante Verlustleistung Pmax den Zähler und die variable Spannung U, in dessen Abhängigkeit sich unterschiedliche Stromwerte ergeben, den Nenner des Bruches dar. Es handelt sich also ganz allgemein um folgende mathematische Funktion …
Zeichnet man das Liniendiagramm für diese mathematische Funktion, so erhält man einen charakteristischen Kurvenverlauf, den die Mathematiker „Hyperbel“ nennen (Bild 7). Die Gleichung wird daher auch als Hyperbelfunktion bezeichnet. Werden sehr kleine Werte für x in die Gleichung eingesetzt, so ergeben sich als Funktionswert f(x) sehr große Werte. Bei großen Werten für x ist das Ergebnis der Gleichung sehr klein. Es strebt gegen Null. Das Einsetzen von x = 0 ist in der Gleichung nicht erlaubt, da sich dann ein unendlicher Wert für f(x) ergeben würde.
Jeder Punkt auf der Kurve entspricht dem Produkt f(x)·x. In der allgemeinen Hyperbelfunktion ist das der konstante Wert „1“ (der Zähler des Bruches!).
Da die Hyperbelfunktion auch in anderen Bereichen der Elektrotechnik zu finden ist, empfehle ich Ihnen, sich diese Funktion und deren Verlauf einzuprägen.
Bild 7: Allgemeine Hyperbelfunktion (links) und Verlustleistungshyperbel der Elektrotechnik (rechts)Übertragen auf die oben umgestellte Leistungsgleichung, stellt jeder Punkt auf dieser Kurve die konstante maximale Verlustleistung Pmax eines Bauelementes dar. Sie bildet somit eine Grenzlinie – die Verlustleistungshyperbel. Bauelemente dürfen nur in einem Arbeitspunkt unterhalb oder exakt auf dieser Kurve betrieben werden. Oberhalb dieser Grenzlinie werden sie überlastet.
Lassen Sie uns nun für den 10 kΩ Metallfilmwiderstand aus Bild 6, der eine maximale Verlustleistung von Pmax = 1 W besitzt, unterschiedliche Stromwerte und somit Punkte dieser Grenzlinie berechnen und sie in einem U-I-Diagramm darstellen. Da zusätzlich zur Verlustleistungshyperbel auch die Widerstandsgerade eingezeichnet werden soll, muss zunächst eine geeignete Skalierung für die Strom- und Spannungsachse gewählt werden. Einen Anhaltspunkt für die Skalierung finden Sie, wenn Sie den Strom und die Spannung berechnen, bei dem im Widerstand die maximale Verlustleistung von 1 W umgesetzt wird. In diesem Punkt schneidet die Widerstandsgerade die Verlustleistungshyperbel.
Mit den Gleichungen {6.2.2} und {6.2.3} ergibt sich …
Eine Probe der Rechenergebnisse können Sie durchführen, indem Sie den maximalen Strom- und Spannungswert miteinander multiplizieren. Das Ergebnis muss die maximalen Verlustleistung von Pmax = 1 W sein.
Für die U-Achse wählen wir einen Spannungsbereich von 0 bis 200 V und für die I-Achse einen Bereich von 0 bis 30 mA. Somit liegt der Schnittpunkt der Widerstandsgeraden in der Mitte der Spannungsachse und im ersten Drittel der Strom-Achse.
Die Spannungswerte zur Berechnung der Stromwerte für die Verlustleistungshyperbel sollen nun so gewählt werden, dass die Ergebnisse im Bereich der gewählten Skalierung liegen und den Gesamtverlauf möglichst genau wiedergeben. Dazu ein Beispiel: Wenn Sie als ersten Spannungswert 5 V wählen, ergibt sich der folgende Strom …
Dieser Koordinatenpunkt (5 V / 200 mA) kann in unserem Diagramm nicht dargestellt werden, weil die I-Achse bei 30 mA endet. Zur Berechnung der Koordinatenpunkte für die Hyperbel müssen somit höhere Spannungswerte herangezogen werden. Die Spannung für den ersten darstellbaren Koordinatenpunkt erhalten Sie über den maximalen Stromwert auf der Stromachse (I = 30 mA).
Wir berechnen daher die erste Koordinate mit der Spannung von 40 V und die folgenden in Abständen von jeweils 40 V. Damit ergibt sich unsere Koordinatentabelle zum Zeichnen der Verlustleistungshyperbel.
| Max. Verlustleistung Pmax |
1 W |
1 W |
1 W |
1 W |
1 W |
| Spannung U |
40 V |
80 V |
120 V |
160 V |
200 V |
| Strom I |
25 mA |
12,5 mA |
8,33 mA |
6,25 mA |
5 mA |
Mit dem im Vorfeld berechnete Koordinatenpunkt (Umax / Imax) kann die Widerstandsgerade für 10 kΩ gezeichnet werden. Außerdem stehen mit diesem Wertepaar und der bei 30 mA berechneten Spannung von U = 33,3 V weitere zwei Koordinatenpunkte zum Zeichnen der Hyperbel zur Verfügung. In Bild 8 ist der Widerstand 10 kΩ / 1 W mit seiner Verlustleistungshyperbel dargestellt.
Bild 8: Widerstand 10 kΩ / 1 W mit dazugehöriger VerlustleistungshyperbelDer Bereich oberhalb der Hyperbel ist der verbotene Bereich. Das Anlegen einer Spannung über 100 V führt in diesen Bereich hinein und überlastet den Widerstand.
In der Praxis werden Bauelemente manchmal bewusst oberhalb der Hyperbel betrieben. Dies ist möglich, wenn diese zusätzlich gekühlt oder immer nur kurzzeitig (impulsartig) in den verbotenen Bereich geschaltet werden. Wichtig bei diesem Impulsbetrieb ist, dass das Bauelement nicht die Möglichkeit erhält, sich unzulässig zu erwärmen. Bei kurzen Spannungspulsen ist das problemlos möglich, da der Temperaturanstieg im Bauelement sehr träge auf eine kurzzeitige Spannungsüberschreitung reagiert.
Abschließend soll an dieser Stelle noch einmal der dimensionierte belastete Spannungsteiler (siehe
5.6 Der unbelastete und belastete Spannungsteiler betrachtet werden, für den die Widerstände R1 und R2 in Abhängigkeit der gewünschten Ausgangsspannung und des benötigten Ausgangsstromes bestimmt wurden.
Jetzt können Sie auch die Leistungen, die in den Widerständen des Spannungsteilers umgesetzt werden, berechnen. Diese Leistungswerte benötigen Sie, um Bauelemente mit der geeigneten Verlustleistung auszuwählen.
In Bild 9 ist der Spannungsteiler mit den dazugehörigen Strom- und Spannungswerten dargestellt.
Bild 9: Ströme und Spannungen des belasteten SpannungsteilersWelche der drei Leistungsgleichungen Sie zur Berechnung der Leistungen von R1 und R2 verwenden, können Sie frei entscheiden, denn es sind alle Größen in der Schaltung bekannt. Ich empfehle Ihnen aber mit der einfachen Grundgleichung zu rechnen, da Sie die Ergebnisse vor der Berechnung besser überschlagen können.
Wenn Sie die anderen beiden Leistungsgleichungen für die Berechnung der Leistungen PR1 und PR2 verwenden, treten Ergebnis-Differenzen zu den zuvor berechneten Werten auf. Diese werden durch den nach der E24-Reihe gewählten Widerstand R1 = 2 kΩ verursacht, für den ursprünglich der Wert 2,04 kΩ berechnet wurde. Mit dem eingesetzten kleineren Widerstandswert sinkt der Gesamtwiderstand der Spannungsteilerschaltung und führt zu einer geringen Erhöhung des Gesamtstromes. Damit weichen auch die in der obigen Schaltung angegebenen Teilspannungen geringfügig von den ursprünglich zur Berechnung des Spannungsteilers herangezogenen Werten ab.
Für beide Widerstände reicht somit im normalen Betrieb eine Verlustleistung von jeweils Pmax = 0,1 W aus.
Bei der Wahl geeigneter Bauelemente sollte allerdings auch berücksichtigt werden, das in der Schaltung Fehler auftreten können. Wenn z. B. der am Ausgang des Spannungsteilers angeschlossene Verstärker einen Kurzschluss verursacht, wird der Widerstand R2 überbrückt und die gesamte Versorgungsspannung fällt am Widerstand R1 ab (Bild 10).
Bild 10: Am Ausgang kurzgeschlossener SpannungsteilerDie Spannung an R1 nimmt im Vergleich zum Normalbetrieb um 0,7 V zu. Die in ihm umgesetzte Leistung beträgt im Kurzschlussfall …
Das Ergebnis zeigt, dass selbst bei einem Kurzschluss am Ausgang des Spannungsteilers die gewählte Bauelementgröße mit einer maximalen Verlustleistung von Pmax = 0,1 W ausreicht und keine Überlastung des Widerstandes R1 auftreten kann.
Elektrische Leistung {6.2.1}
Leistung (Spannung und Widerstand sind bekannt) {6.2.2}
Leistung (Strom und Widerstand sind bekannt) {6.2.3}